jueves, 22 de abril de 2010
los numeros complejos aplicado a la ingenierìa elèctrica
Los numeros se usan en la ingeniería eléctrica y otros campos para una descripciòn adecuada de las señales periodicas variables. en una expresiòn de tipo Z=reª podemos pensar en r como la amplitud en Q como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna como la parte real de una funciòn de variable compleja de la forma: F(t)= Ze iwt.
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Para poder hablar de continuidad en las funciones de variables complejas, debemos de entender por función compleja de variable compleja, a una función cuyo dominio es un subconjunto de C y los valores que toma están en C. Es decir,
ResponderEliminarf : A c C → C.
Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja,
u(z) = Re f (z), v(z) = Im f (z).
Identificando C con R2, las funciones u y v pueden ser vistas como funciones de dos variables reales que toman valores en R y, así, es muy frecuente escribir
f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ A.
Es decir, tener una función compleja de variable compleja es tener dos funciones reales de dos variables reales.
Los conceptos de límite y continuidad de funciones son totalmente análogos a los ya conocidos para R, así como sus propiedades, ya que en la definición de estos sólo interviene el modulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R como en C.
Sea f : A c C → C y sea z0 C un punto de acumulación de A. Es decir,
D(z0; ε) ∩ (A \ {z0}) = ∅, ∀ε > 0
(nótese que el punto z0 puede pertenecer al dominio A o no). Diremos que
Lim f (z) = α ∈ C
A_z→z0
Si (por definición)
∀Ε > 0, ∃Δ > 0 _ (0 < |Z − Z0| < Δ ∧ Z ∈ A) ⇒ |F (Z) − Α| < Ε.
Como C es un espacio métrico, esta definición (ε, δ) es equivalente a la definición por sucesiones. Es decir, a que ocurra
∀(ZN) ⊂ A \ {Z0} _ ZN → Z0 ⇒ F (ZN) → Α.
Con las notaciones anteriores, diremos que f es continua en z0 ∈ A si
∃ LIM F (Z) = F (Z0).
A_Z→Z0
Nótese que en este caso z0 debe estar en el dominio de la función.
Análisis, Comparación y Similitud entre Calculo de Función Analítica e Integrales de Función Analítica
ResponderEliminarUna función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes.
Cada cantidad cuyo valor depende de una o más cantidades se llama una función de éstas últimas, se conozca o no qué operación es necesario usar para llegar de la última a la primera.
Cauchy, en 1821, dio una definición que hace de la dependencia entre variables el centro del concepto de función.
Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable.
Nótese que a pesar de la generalidad de la definición de Cauchy, que está diseñada para cubrir tanto las funciones implícitas como las explícitas, aún piensa en una función en términos de una fórmula. De hecho, hace la distinción entre funciones implícitas y explícitas justo después de dar esta definición. También introduce conceptos que indican que todavía piensa en términos de expresiones analíticas.
Fourier, en Théorie analytique de la Chaleur en 1822, dio la siguiente definición:
En general, la función ƒ(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de valores de la abscisa x, hay un número igual de ordenadas ƒ(x). Todas tienen valores numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a otras de una forma cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad sola.
Está claro que Fourier ha dado una definición que se aleja deliberadamente de las expresiones analíticas. Sin embargo, y a pesar de ello, cuando empieza a demostrar teoremas sobre expresar una función arbitraria como serie de Fourier, ¡entonces usa el hecho de que su función es continua en el sentido moderno!
Dirichlet, en 1837, aceptó la definición de función de Fourier e inmediatamente de dar esta definición, definió una función continua (usando continuo en el sentido moderno). Dirichlet también dio un ejemplo de una función definida en el intervalo [0,1] que es discontinua en todos sus puntos; ésta es ƒ(x) definida como 0 si x es racional y 1 si x es irracional.
En 1838, Lobachevsky dio una definición de una función general que todavía necesitaba que ésta fuera continua:
ResponderEliminarUna función de x es un número que está dado para cada x y que cambia gradualmente junto con x. El valor de la función puede estar dado mediante una expresión analítica o mediante una condición que ofrece una manera de probar todos los números y seleccionar uno de ellos o, finalmente, la dependencia puede existir pero ser desconocida.
Cauchy afirma de las funciones analíticas; “El instrumento más adecuado para el estudio de las funciones analíticas es la integración de funciones de variable compleja”. Se trata de integrales calculadas a lo largo de contornos que cumplen ciertas condiciones de regularidad. Un contorno de integración es un arco c definido por dos funciones continuas
x=f(t) e y=?(t)
de la variable real t que varía en un intervalo [a, b], tales que para valores distintos del parámetro t los puntos correspondientes son distintos (arco simple de fardan), con la condición de que las funciones
Sea A una región del plano complejo, en el que está definida una función compleja de variable compleja f(z), y un contorno C de integración contenido en la región A. Se define como integral de la función f(z) a lo largo del contorno C, y se representa por
?f(z)dz
a la siguiente integral
?f(f(t) + i?(t))(f´(t)+i?´(t))dt,
obtenida sustituyendo formalmente z por
f(t) + i?(t),
y extendida al intervalo [a, b] de variación de t. Se puede asegurar la existencia de la integral, cuando f(z) esté acotada y sea continua sobre C, salvo a lo más en un número finito de puntos.
b) Al aplicar la definición de integral a las funciones analíticas se obtiene un resultado fundamental, enunciado primero por Cauchy y después perfeccionado por Goursat, que expresa, en ciertas condiciones, la independencia del valor de la integral respecto del camino, y que se puede enunciar de la siguiente forma:
Sea C un contorno de integración cerrado y f(z) una función analítica en una región A que contiene C y el interior de C; entonces es
?c f(z) dz=0.
Consecuencia del resultado anterior es la llamada fórmula integral de Cauchy, que expresa el valor de una función en un punto zo de la región de analiticidad A por medio de una integral a lo largo de un contorno C alrededor de dicho punto z0: f(z0)=1/(2?i)?f(z)/(z-z0)dz.
A partir de esta fórmula se pueden calcular las derivadas sucesivas de la función f(z) en zo obteniéndose
f(n)(z0)=n!/(2?i)?f(z)/(z-z0)n+1dz
que coinciden con el resultado que se obtiene por derivación formal de la fórmula de Cauchy respecto de zo.
Una de las consecuencias más sorprendentes de las fórmulas anteriores es que si f(z) es analítica en zo (lo que exigía la existencia de la derivada en zo y en un entorno de zo), en todos los puntos de un entorno de zo existen derivadas de todos los órdenes. Este resultado se completa, probando que el desarrollo en serie de potencias que se obtiene formalmente por la fórmula de Taylor converge, y así resulta que toda función analítica en zo admite un desarrollo en serie de potencias de z-zo en un entorno de zo (Serie de Taylor).